页码题型的总结（转贴）

先解释一下什么是“页码题型”。 主要是由三种题型构成。
（1）页码具有连续自然数的特性（等差数列），可以通过页码考察等差数列求和公式。
例题：从1到n的门牌号，除了小明家的门牌号之外的和为10000，问小明家的门牌号为多少？
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【天字1号解析】
根据条件可知： (1+n)*n/2>10000  从而求解最接近的n是多少。然后代入求和公式找出与10000的差值即为小明家的门牌号。
(n+1)n>20000  因为n+1 和n可以视为相等的2为数。那么实际上是对20000开方。及为100*根号2=141. 因此n最小为141.
代入可知门牌号之和为(141+1)*141/2=141*71=1011  距离10000多出11；  可见小明家门牌号是11号。
注：此类题目求解要用到求和公式，所以在计算过程中，有时候未必很好计算，这时就需要我们从选项或者题目的一些数理特征入手通过排除，代入，尽量简化计算过程。

（2）页码的数值特点角度考虑。通常会考察页码所构成的数字个数，或反过来通过数字个数来求页码。
例题1：800页的页码当中含有多少个5？ （例如155页是含2个5）
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【天字1号解析】
含多少个5，因为有些页码会出现多个5，如举例当中说道的155 就有2个5.  因此计算这类题目可以有2个方法。
方法一：枚举记住出现5的个数的规律特征。
    1-99，含有20个5， 100-199含有20个5， 200-299含有20个5......  500-599含有120个5......
    我们知道每100个数字会出现20个5，除了500-599，这里是120个5.要比其他100的范围多出100个（百位数都是5）。
    因此，此题可以800/100=8, 除了500-599 这里有120个5，其余7个范围都只有20个5. 故而答案是20*7+120=260个。
方法二：通过排列组合分别计算每一个位置上5出现的个数，然后求和。
    我们分别用XXX来表示一个页码格式。X可以是0-9之间的任何数值，例如当第2页，就是当百位数是0，十位数是0，个位数是2的时候就可以表示002， 现在我们来计算000-799 当中含有多少个5. 可以通过分别计算每一个位置上5各是多少个。然后求和。
    当百位数是5的时候，就是5XX，后面2个X的选择各有10个选择，即组合是10*10=100个。
    当十位数是5的时候，就是X5X，第一个X的取值可以是【0-7】8个选择。后面X取值是【0-9】10个，即组合为8*10=80个。
    当个位数是5的时候，就是XX5，第一个x的取值依然是8个选择，第二个x的取值还是10个选择。则组合也是8*10=80个。
那么这些页码当中一共出现了100+80+80=260个“5”。
注：此类题目，我建议大家不要仅仅只会枚举，应当多种方法均要掌握，对于第二种，我个人比较推荐，因为这有助于题型的扩展运用。另外，请大家思考一下“0”这个特殊的数字。 800的页码当中“0”有多少个呢？
第一种枚举： 1-99出现0的情况就是10，20，30，40，50，60，70，80，90 共计9个。
而100-199：100，101......109,   110,120,130,140,150,160,170,180,190.  共计20个。
因此，除了一个100出现特殊情况之外，其他的依然保持20个。还有800这个特殊的页码有2个0， 故而800页的页码共计有7*20+9+2=151个“0”。
第二种排列：
    当然0不可能做最高位即百位数，因此百位数是0的情况为0种；
    十位数是0的情况，如：X0X，第一个X我们不能考虑0，否则就是00X，这样第二个0就没有意义了，则有7*10=70个；
    个位数是0的情况，如：XX0，前面2个x不能都是0，当第一个X为0的时候，第二个就有9个选择（不能选0），当第一个X为1-7，7个数字选择的时候，第二个X可以考虑0-9任意数值。即有7*10=70个。
    最后别忘了800还有2个0，故而答案是70+9+70+2=151个。

例题2：800页的页码当中有多少个含5的页码？有多少不含5的页码？（例如155页这是一个含5的页码）
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【天字1号解析】
此题和上一题不同，一个页码当中无论出现几个5，都算一个页码。但是方法依然有2个。
方法一：枚举，从1-99：5，15，25，35，45，50......59，65，75，85，95  共计19个含5的页码；......；500-599：这100个数字都是含5的页码，所以共计100个含5的页码。 因此答案应该是800/100=8,  即8个范围7个是含19个含5的页码，1个范围是含100个5的页码.最终答案就是19*7+100=233个含5的页码。
方法二：排列组合， 此时我们用上一题目的排列方法会发现对页码出现重复的计算。因此我们应该考虑计算不含“5”的页码个数，这样就不会出现重复计算。  不含5的页码 即XXX 都不是5.第一个x的取值除去5还有7个选择， 后面2个X的取值除去5之外还有9个数字可以选择。因此组合为7*9*9=567个。注意这里如果当三个X均为0时 表示000，即0页码。没有这个页码，所以要从总数里面去掉。但是请别忘记800，800这个页码也是不含5的页码，所以别忘了补上，故而不含5的页码数量应该为567-1+1=567个。 现在只需要把800-567=233 就是含5的页码数量了。
注：个人觉得利用排列组合做是不错的选择。但是要注意特殊000，和最后一个整数页码。不要出现一些多算或漏算的情况。另外，请大家考虑一下：800的页码的书当中有多少个含0的页码？多少个不含0的页码？ 答案为143和657.
    
例题3：一本书的所有页码所需要的数字个数（例如第122页数字个数为3）总和为768，则这本书有多少页？
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【天字1号解析】
按照上述2个题目的解答方式。我们也提供2个方法。
方法一：枚举。1-9共计9个数字，10-99共计90*2=180个数字，100-999=3*900=2700个...... 不一一枚举。
现在告诉你总和是768 ，768-9-180=579， 剩下的579就是三位数页码的总数字之和，即含3位数的页码是579/3=193个。因为是从100开始计数的，所以最后答案是100+193-1=292页。
方法二：受到排列组合的启发，按照位置看，通过逆向思维。假设页码是A页，那么这A页有A个个位数，除了1-9这9个页码没有10位数，其他的A-9个页码都有十位数，同理，除了1-99这99个页码没有百位数，其他的A-99 都有百位数。
故而数字个数之和为A+（A-9）+（A-99）=768，即3A=876，  解得A=292页。

例题4：从1开始连续若干个自然数写在一起，如：12345678910111213......，请问第2012位数字是几？
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【天字1号解析】
方法一：同理我们来看此题，其实可以看做和上一题一样，要算出是多少页的页码才能达到2012个数字，那就容易找到这个数字是多少。假设是第A个自然数可以达到2012个数字。根据2012我们可以知道A是小于1000页的。（因为1000页就有900个3位数的，其数字之和已经超出2700了），故而A+（A-9）+（A-99）=2012，  3A=2120，解出A=706......2  说明是到达706页还差1个数字，即707页的第二个数字0.
方法二：当然 也可以枚举看待。2012-（9+180）=1823， 因此根据1823/3=607......2, 即页码应该是100+607-1=706 还差2个数字即707的第二个数字为0.

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