容斥原理问题

【例1】对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有：
 A．22人    B．28人    C．30人    D．36人
 【解析】设A＝喜欢看球赛的人（58），B＝喜欢看戏剧的人（38），C＝喜欢看电影的人（52）
 A∩B＝既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人（18）
 B∩C＝既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人（16）
 A∩B∩C＝三种都喜欢看的人（12）
 A∪B∪C＝看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种（100）
 根据公式：A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C
 C∩A＝A＋B＋C－（A∪B∪C＋A∩B＋B∩C－A∩B∩C）
 ＝148－（100＋18＋16－12）＝26
 所以，只喜欢看电影的人＝C－B∩C－C∩A＋A∩B∩C
 ＝52－16－26＋12
 ＝22
【例2】某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( )。
 A.22 B.18 C.28 D.26
 【解析】设A＝第一次考试中及格的人(26)，B＝第二次考试中及格的人(24)
 显然，A＋B＝26＋24＝50；A∪B＝32-4＝28，
 则根据公式A∩B＝A＋B-A∪B＝50-28＝22
 所以，答案为A。
【例3】某单位有青年员工85人，其中68人会骑自行车，62人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有12人，则既会骑车又会游泳的有( )人
 A.57 B.73 C.130 D.69
 【解析】设A＝会骑自行车的人(68)，B＝会游泳的人(62)
 显然，A＋B＝68＋62＝130；A∪B＝85-12＝73，
 则根据公式A∩B＝A＋B-A∪B＝130-73＝57
 所以，答案为A。
【例4】电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？
 【解析】设A＝看过2频道的人(62)，B＝看过8频道的人(34)
 显然，A＋B＝62＋34＝96；A∩B＝两个频道都看过的人(11)
 则根据公式A∪B＝A＋B-A∩B＝96-11＝85
 所以，两个频道都没有看过的人数＝100-85＝15
 所以，答案为15。

沙发

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